☛ Équation x² = a

Énoncé

Résoudre les équations suivantes.
1. \(x²=9\)
2. \(x²=-3\)
3. \(4x²=16\)

Solution

Pour résoudre une équation du type \(x²=a\), le principe est de se ramener à une équation produit à l'aide d'une identité remarquable.

1. On résout l'équation
\(\begin{array}{lrclcrcl}x^2=9~~~\text{équivaut à}&x^2-9&=&9-9& \\x^2=9~~~\text{équivaut à}&x^2-9&=&0&\end{array}\)
On retombe alors sur une identité remarquable connue \((a-b)(a+b)=a²-b²\) .
\(x^2=9~~~\text{équivaut à} ~~~(x-3)(x+3)=0\)
Maintenant on peut résoudre l'équation produit.
\(x^2=9~~~\text{équivaut à} ~~~x-3=0~~~\text{ou}~~~x+3=0\\x^2=9~~~\text{équivaut à} ~~~x=3~~~\text{ou}~~~x=-3\\\)
Les solutions de l'équation sont \(3\) et \(-3\).

2. On résout l'équation \(x²=-3\)
Comme un carré est toujours positif, cette équation n'admet pas de solutions réelles. 

3. On résout l'équation
\(4x²=16~~~\text{équivaut à} ~~~4x^2-16=0\\4x²=16~~~\text{équivaut à} ~~~(2x-4)(2x+4)=0\\4x²=16~~~\text{équivaut à} ~~~2x-4=0~~~\text{ou}~~~2x+4=0\\4x²=16~~~\text{équivaut à} ~~~x=\dfrac{4}{2}~~~\text{ou}~~~x=-\dfrac{4}{2}\\4x²=16~~~\text{équivaut à} ~~~x=2~~~\text{ou}~~~x=-2\)
Les solutions sont \(2\) et `-2`.